こんにちは、物理学科3年のむぅです。カワウソです。物理学科学生有志による五月祭企画「Physics Lab. 2022」の量子物理学班の班長をしています。よろしくお願いします。アドカレの初めは各班長が班紹介を兼ねて何か書こうという話になり、筆をとっております。
まず初めに、「テーマ広すぎ！」思っております [^1] 。あとは「楽しければなんでも OK」ぐらいノリで活動しています。その結果、トピックは幅広くなりそうですし、多様性があって面白くなるのかなと思っております。たぶん、量子力学っぽい話で見てなるほどってなる話とか、QC っぽい話で手を動かしてみようみたいなこととか [^2] をすると思います。それから、これは全班に共通していると思いますが、「わかりやすい」し「楽しい展示」的な要素をちゃんと盛り込みたいと思っています。乞うご期待 [^3]！
とはいえ、何か物理の話をしないと物足りないので、自分が興味を持っている話をします。
最近はよく超伝導について勉強をしています。物性物理の代表格（個人の感想です）って感じがしますよね。量子物理学といえばそうなんですが、もう少し踏み込んで、量子情報（QI）の概念とどう結びつくのか気になっています。とどのつまり、「超伝導をエンタングルメント（とか QI の観点）から語るとおもしろいのか？」ということです。
ということで、ここからちょっとだけ勉強パートに入ります。なお、このアドカレでは解説というか紹介のつもりなので、事細かには書きません [^4]。
波数 $\vec{k}$、スピン $\sigma$ をもつ電子の生成消滅演算子を $c_{\vec{k},\sigma}^{\dagger}$, $c_{\vec{k},\sigma}$ とします。常伝導状態でのバンド分散を $\epsilon_{\vec{k}}$、電子間に対相関をもたらす引力相互作用を $V_{\vec{k}',\vec{k}}<0$ とします。超伝導 BCS 理論の主役は Cooper pair でしたね。 有効ハミルトニアンは、
$$ H = \sum_{\vec{k}, \sigma} \epsilon_{\vec{k}} c_{\vec{k},\sigma}^{\dagger}c_{\vec{k},\sigma} + \sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}'\ne\vec{k}} V_{\vec{k}', \vec{k}} c_{\vec{k}'\uparrow}^{\dagger} c_{-\vec{k}\downarrow}^{\dagger} c_{-\vec{k}\downarrow} c_{-\vec{k}\uparrow}. $$
と表されます。ここで、真空状態を $\ket{\Phi_v}$ とすれば、BCS 状態は
$$ \lvert {\Phi} \rangle = \prod_{\vec{k}} \left( u_{\vec{k}} + v_{\vec{k}}e^{\mathrm{i}\theta} c_{\vec{k}\uparrow}^{\dagger} c_{-\vec{k}\downarrow}^{\dagger} \right) \lvert{\Phi_v}\rangle $$
と表される変分波動関数です。ここで、${u}{\vec{k}}$, ${v}{\vec{k}}$ は一般には温度に依存する実数のパラメタで、状態ケット $\ket{\Phi}$ の規格化条件 $\braket{\Phi|\Phi} = 1$ から $v_{\vec{k}}^2 + u_{\vec{k}}^2 = 1$ を満たします。 これは、エンタングルド（量子もつれ）状態です。というのも、ペア ($\vec{k}$, $-\vec{k}$ ) を考えていて、
$$ \lvert{\Phi}\rangle \ne \prod_{\vec{k}} \left( \alpha_{\vec{k}} + \beta_{\vec{k}} c_{\vec{k}\uparrow}^{\dagger} \right) \left( \gamma_{\vec{k}} + \delta_{\vec{k}} c_{-\vec{k}\downarrow}^{\dagger} \right) \lvert{\Phi_v}\rangle, $$
かつ
$$ \alpha\gamma \ne 0, \quad{} \alpha\delta = 0, \quad{} \beta\gamma = 0, \quad{} \beta\delta\ne0, $$
なる $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の組がないからです。